Simulinkでの single型の扱いについて

Simulinkで、定数 0.01の出力型をSingleとし、Gainブロックで1000倍すると、出力が10 となります。

Single型での0.01の実際の値は、0.009999...　で、1000倍した時に誤差がなくなってしまうのはなぜでしょうか

[Atsushi Ueno]

MATLABに限らず、コンピュータで表現する数値についての話になります。

単精度浮動小数点数 - Wikipedia

単精度(single)の浮動小数点数は、符号1bit、仮数部8bit、指数部23bitの計32bitで表現されます。詳細はリンク先に譲りますが、小数点数を整数と小数に分けて考えます。整数部に10進数表現と2進数表現の誤差はありませんが、小数部には10進数表現と2進数表現の誤差があります。

2,8,10,16進数 計算・変換（マイナス、小数点対応） (cman.jp)

上記リンク先は、入力した数値について解説してくれるのでとても分かり易いです。「10進数、32bit(single)、0.01」を入力して変換し、その後の解説を読めば理解できます。

[katsunori shigematsu]

回答ありがとうございます。

ただ、質問の意図としては、

例えば 0.01 のConstantブロックの出力型をSingleとし、これを1000回足すと、10にはなりません(桁は小さいですが端数が出ます)。

ところが、

0.01 のConstantブロックの出力型をSingleとし、これを1000倍すると、誤差なく10 が出力されます。

Single型の2進数表現の問題なのは理解しますが、1000倍した際に誤差なく(表示されないくらい微小な誤差扱いになるのかもしれませんが) 10となってしまう理由が分かりません。

[Atsushi Ueno]

Simulinkに限らず、single(IEEE 754での単精度浮動小数点数)の演算により生じる誤差の為です。

下図は、0.01に0.01を2回足して0.03にしてみた結果です。

32bitの浮動小数点数で0.01を表現すると0.0099999904632568359375となります。ならば0.01を1000回足した値は9.9999904632568359375になるかというとそれは違います。0.01+0.01=0.02は2進数の仮数部が全く同じままで正確に2倍の値を保つ事が出来ますが、0.02+0.01=0.03は仮数部の値がすっかり様変わりしてしまいます。つまり足し算を繰り返す度に「演算による誤差(2進数の分解能によるズレ)」が累積されます。

下図は、0.01に1000を掛けて10にしてみた結果です。

一方浮動小数点数の乗算(1000倍)の場合は、仮数部同士を2進数で乗算した結果に指数部同士の桁合わせを行った結果、10ぴったりの値になります。0.01を2進数で表現する為に23桁フルに使っていた情報は乗算結果オーバーフローした方に行ってしまい、その結果殆ど全てが捨てられてしまっています。

[Atsushi Ueno]

余談ですが：

浮動小数点数演算は、規格(IEEE754など)、処理系、CPUや他ハードウェアの違いに依存します。全く同じソフトウェアで演算をしても、処理系やハードウェアが異なると演算誤差が異なる場合があります。

[Atsushi Ueno]

MATLABとSimulinkの演算違い - (mathworks.com)

全く同じコードで異なるPCを使うと全く違う結果が出る - (mathworks.com)

浮動小数点を利用する際に知っておきたいこと | Microsoft Docs