固有ベクトルの向き

固有ベクトルを算出するときにベクトルの符号を指定することは可能でしょうか？

[Hernia Baby]

具体的にはどのようなものでしょうか？

例えば

X = [-1,1,2]

X = 1×3

-1 1 2

を

Xi = - X

Xi = 1×3

1 -1 -2

のようにする形ですか？

[Kohei Nishizawa]

お返事いただきありがとうございます。ご提示いただいたような形です。 固有ベクトルがXまたはXiになるとき、プログラム上でXが算出されるとします。その場合、Xiの固有ベクトルを指定して算出することは可能でしょうか？

[Hernia Baby]

※修正：日本語がおかしかったので書き直しました

----------

可能です。

どのように指定するかで回答を考えたいので、具体的な内容をお聞きしたいです。

その前に、まずはシンプルな例で検証をしてみましょう。

X = [-1,1,2];
Xi = MyEigVec(X)

Xi = 1×3

1 -1 -2

function y = MyEigVec(x)
    if x(1) < 0
        y = - x;
    else
        y = x;
    end
end

[Kohei Nishizawa]

ご丁寧にありがとうございます。

以下Aは[V, D] = eig(a)で算出された固有ベクトルになるのですが、3次元配列の3番目と4番目の固有ベクトルの符号を1番目と２番目に合わせて同じ向きの座標系にしたいと考えています。ご教示いただけますでしょうか。

A = [-0.0449 -0.5388 -0.8413; -0.6687  0.6418 -0.3754; 0.7422  0.5457 -0.3891]
A(:,:,2) = [-0.0453 -0.5361 -0.8429; -0.6897  0.6272 -0.3618; 0.7227  0.5649 -0.3982]
A(:,:,3) = [0.0464  0.5318 -0.8456;  0.7089 -0.6139 -0.3472;-0.7038 -0.5834 -0.4055]
A(:,:,4) = [0.0469 -0.5288 -0.8475;  0.7276  0.5994 -0.3337;-0.6844  0.6010 -0.4128]

Answer 1

[Hernia Baby]

各列ベクトルの符号が必ず対応しているものとして話を進めます

今回は符号関数signを使います

まずは準備

clc,clear
A = [-0.0449 -0.5388 -0.8413; -0.6687  0.6418 -0.3754; 0.7422  0.5457 -0.3891];
A(:,:,2) = [-0.0453 -0.5361 -0.8429; -0.6897  0.6272 -0.3618; 0.7227  0.5649 -0.3982];
A(:,:,3) = [0.0464  0.5318 -0.8456;  0.7089 -0.6139 -0.3472;-0.7038 -0.5834 -0.4055];
A(:,:,4) = [0.0469 -0.5288 -0.8475;  0.7276  0.5994 -0.3337;-0.6844  0.6010 -0.4128];

ここでAの符号を算出します

Sgn_A = sign(A)

Sgn_A = 
Sgn_A(:,:,1) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


Sgn_A(:,:,2) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


Sgn_A(:,:,3) =

     1     1    -1
     1    -1    -1
    -1    -1    -1


Sgn_A(:,:,4) =

     1    -1    -1
     1     1    -1
    -1     1    -1

すべて1の行列を作成し、3番目と4番目の符号を1番目と2番目のものとかけることで反転すべきか決めます

idx = ones(size(A));
for ii = 1:size(A,3)/2
    idx(:,:,ii+2) = Sgn_A(:,:,ii).*Sgn_A(:,:,ii+2);
end
B = A.*idx;

Bの符号を見てみましょう

sign(B)

ans = 
ans(:,:,1) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


ans(:,:,2) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


ans(:,:,3) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


ans(:,:,4) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1

1,2番目と対応していることがわかりました

Answer 2

[Kohei Nishizawa]

ありがとうございます。非常に参考になります。 ちなみに1番目、2番目と3番目、4番目の各列ベクトルの向きを合わせるという条件ですと他に方法は考えられますでしょうか？

[Hernia Baby]

こちらは1と2が対応するという意味でよろしいでしょうか？

[Kohei Nishizawa]

説明が分かりづらくすみません。1番目の各固有ベクトルの向きを2、3、4番目に合わせていく形で検討していただきたいです。

[Hernia Baby]

A(:,:,1)の符号にすべて合わせるという認識でしょうか？

clc,clear
A = [-0.0449 -0.5388 -0.8413; -0.6687  0.6418 -0.3754; 0.7422  0.5457 -0.3891];
A(:,:,2) = [-0.0453 -0.5361 -0.8429; -0.6897  0.6272 -0.3618; 0.7227  0.5649 -0.3982];
A(:,:,3) = [0.0464  0.5318 -0.8456;  0.7089 -0.6139 -0.3472;-0.7038 -0.5834 -0.4055];
A(:,:,4) = [0.0469 -0.5288 -0.8475;  0.7276  0.5994 -0.3337;-0.6844  0.6010 -0.4128];

% 符号のみ抽出
Sgn_A = sign(A);
idx = ones(size(A));

以下を変えています

% 1番目の符号にすべて合わせる
for ii = 2:size(A,3)
    idx(:,:,ii) = Sgn_A(:,:,ii).*Sgn_A(:,:,1);
end
B = A.*idx;
sign(B)

ans = 
ans(:,:,1) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


ans(:,:,2) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


ans(:,:,3) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1


ans(:,:,4) =

    -1    -1    -1
    -1     1    -1
     1     1    -1

[Kohei Nishizawa]

非常にわかりやすいご説明ありがとうございました。とても参考になりました。最後に1点ご質問なのですが、以下Bのように符号は変わっているけどベクトルの方向が変わっていない例外の場合、-1をかけずにそのままにしたいのですが何か対処法は思いつきますでしょうか？

B = [-0.0412 -0.7211 -0.6916; -0.0365 0.6928 -0.7202; 0.9985 -0.0045 -0.0549]
B (:,:,2) = [-0.0417 -0.7310 -0.6811; -0.0515 0.6823 -0.7292; 0.9978 0.0046 -0.0661]

[Hernia Baby]

すみません、少し教えてください。

「ベクトルの方向が変わっていない」というのは、どこを指しますか？

B = [-0.0412 -0.7211 -0.6916; -0.0365 0.6928 -0.7202; 0.9985 -0.0045 -0.0549];
B(:,:,2) = [-0.0417 -0.7310 -0.6811; -0.0515 0.6823 -0.7292; 0.9978 0.0046 -0.0661]

B = 
B(:,:,1) =

   -0.0412   -0.7211   -0.6916
   -0.0365    0.6928   -0.7202
    0.9985   -0.0045   -0.0549


B(:,:,2) =

   -0.0417   -0.7310   -0.6811
   -0.0515    0.6823   -0.7292
    0.9978    0.0046   -0.0661

上記ですと1と2の各列ベクトルは異なるように思えます。

[Kohei Nishizawa]

言葉が混同してすみません。Aの行列に関しては３次元配列の1番目を基準にして符号を揃えることで「反転」してしまった固有ベクトルを修正するプログラムを検討していただきました。連続的に処理をしていく中で例外的にBのような符号は変わっているが「反転」していないベクトルが出てきた場合、符号修正の処理を実行しない方法などがありましたら教えていただければと思い質問させていただきました。例えばCの1番目の固有ベクトルを基準にして2-6番目の固有ベクトルを反転しないように修正していく場合になります。

A = [-0.0449 -0.5388 -0.8413; -0.6687  0.6418 -0.3754; 0.7422  0.5457 -0.3891];
A(:,:,2) = [-0.0453 -0.5361 -0.8429; -0.6897  0.6272 -0.3618; 0.7227  0.5649 -0.3982];
A(:,:,3) = [0.0464  0.5318 -0.8456;  0.7089 -0.6139 -0.3472;-0.7038 -0.5834 -0.4055];
A(:,:,4) = [0.0469 -0.5288 -0.8475;  0.7276  0.5994 -0.3337;-0.6844  0.6010 -0.4128];
B = [-0.0412 -0.7211 -0.6916; -0.0365 0.6928 -0.7202; 0.9985 -0.0045 -0.0549];
B(:,:,2) = [-0.0417 -0.7310 -0.6811; -0.0515 0.6823 -0.7292; 0.9978 0.0046 -0.0661];
C = cat(3,A,B)

C = 
C(:,:,1) =

   -0.0449   -0.5388   -0.8413
   -0.6687    0.6418   -0.3754
    0.7422    0.5457   -0.3891


C(:,:,2) =

   -0.0453   -0.5361   -0.8429
   -0.6897    0.6272   -0.3618
    0.7227    0.5649   -0.3982


C(:,:,3) =

    0.0464    0.5318   -0.8456
    0.7089   -0.6139   -0.3472
   -0.7038   -0.5834   -0.4055


C(:,:,4) =

    0.0469   -0.5288   -0.8475
    0.7276    0.5994   -0.3337
   -0.6844    0.6010   -0.4128


C(:,:,5) =

   -0.0412   -0.7211   -0.6916
   -0.0365    0.6928   -0.7202
    0.9985   -0.0045   -0.0549


C(:,:,6) =

   -0.0417   -0.7310   -0.6811
   -0.0515    0.6823   -0.7292
    0.9978    0.0046   -0.0661